フーリエ解析

【フーリエ解析】フーリエ解析公式まとめ

フーリエ解析とは?

フーリエ解析
→関数を三角関数で展開する

テイラー展開
→関数をべきで展開する

マクローリン展開
テイラー展開がf(x)をx=aまわりで展開したものだが、特にx=a=0で展開したテイラー展開をマクローリン展開という

フーリエ級数展開の公式

周期Tの関数f(x)をフーリエ級数展開する。

フーリエ係数

$$a_0 = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx$$

$$a_n = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\cos(n\frac{2\pi}{T}x)dx$$

$$b_n = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\sin(n\frac{2\pi}{T}x)dx$$

級数展開

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n\cos(n\frac{2n}{T}x) + b_n\sin(n\frac{2\pi}{T}x))$$

複素フーリエ級数展開公式

周期Tの関数f(x)を複素フーリエ級数展開する。

複素フーリエ係数

$$c_n = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\mathrm{e}^{-in\frac{2\pi}{T}x}dx$$

級数展開

$$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n \mathrm{e}^{in\frac{2\pi}{T}x}$$

フーリエ変換の公式

フーリエ変換

$$F[f](\varepsilon) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\mathrm{e}^{-i\varepsilon}dx$$

フーリエ逆変換

$$F^{-1}[g](x) = \int_{-\infty}^{\infty}g(\varepsilon)\mathrm{e}^{-i\varepsilon}d\varepsilon$$

フーリエ変換の合成積

$$(f*g)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(x-y)g(y)dy$$

ラプラス変換の公式

ラプラス変換

$$\mathcal{L}[f](s) = \int_{0}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-st}dt$$

逆ラプラス変換の公式

実は逆ラプラス変換の公式はとても複雑でとくのはとてもむずかしい。そこで、ある関数f(x)をラプラス変換すると一意のF(s)になり、そのF(s) を逆フーリエ変換すると元の関数f(x)に戻ることを利用する。

$$f(t)$$ $$F(s)$$
$$\mathrm{e}^{at}$$ $$\frac{1}{s-a}$$
$$t^n$$ $$\frac{n!}{s^{n+1}}$$
$$sin(at)$$ $$\frac{a}{s^2+a^2}$$
$$cos(at)$$ $$\frac{s}{s^2+a^2}$$
$$\mathrm{e}^{at}f(t)$$ $$F(s-a)$$

もっと知りたい方は、こちらをご覧ください

ラプラス変換の合成積

$$(f*g)(t) = \int_{0}^{t}f(t-u)g(u)du$$