線形代数

様々な行列と役割

大学数学で用いる行列をまとめてみました。ここでは行列のざっくりとした説明にします。

f:id:tomo-study:20190828140420j:plain

行列の種類

正方行列

ある行列Aの行と列の数が等しい行列

※特に行数と列数がmである行列をm次正方行列という

単位行列

主対角成分の値が全て1であり、主対角成分以外は全て0

記述法

EやIで表す

性質

単位行列をかけても計算結果は変わらない EA=A

逆行列

整数でいう逆数みたいな意味を持つ行列で、行列Aに行列Aの逆行列をかけると計算結果が単位行列になる行列になる行列

記述法

行列Aの逆行列はA-1のように表す

性質

逆行列をかけることによって単位行列にすることができるA-1A=E

作成方法

①ガウスジョルダン法

②余因子行列を用いる方法

正則行列

逆行列が存在する正方行列

判別方法

行列Aの行列式の値が0でないならばその行列は正則行列

回転行列

原点を中心に回転変換の表現行列

転置行列

ある行列Aに対して(i,j)成分を(j,i)成分に移して作られた行列。

表記法

行列Aの転置行列はATまたは、、TAと表す。

※m × n行列は転置するとn × m行列になる

性質

(A+B)T =AT+BT

(AB)T =BTAT

(AT)-1 =(A-1)T

対角行列

正方行列のうち主対角成分以外の成分が0である行列

テプリッツ行列

主対角成分の値が全て等しい行列

ハンケル行列

半対角成分の値が全て等しい行列

※トレース:主対角成分の和をとったもの

対称行列(実対称行列=実エルミート行列)

ある正方行列Aがあって行列Aを転置しても、元の行列Aと変わらない行列のこと

※対称行列ならば直行行列Aと使う方法で100%対角化できる

交代行列(実歪エルミート行列)

ある正方行列Aがあって行列Aを転置すると、元の行列Aと符合だけが変わる行列

三角行列

上(下)三角行列は対角成分とその右上(左下)のみ0以外の値がある正方行列

随伴行列

行列Aを転置し、その成分を複素共役にした行列。

記述法

A*であらわす

性質

( A B )*= B*A*

(A*)*=A

(A*)-1=(A-1)*

(CA)* =CcA*

cは行列の成分の複素共役を表す

正規行列

行列AにおいてA*A =AA*を満たす行列A

ユニタリ行列(実ユニタリ行列=直行行列)

行列AにおいてA*A=Eを満たす行列A。A*=A-1

直行行列(=実ユニタリ行列)

行列AにおいてATA=E→AT=A-1を満たす行列A。

エルミート行列(実エルミート行列=実対称行列)

行列AにおいてA*=Aを満たす行列A。