様々な行列と役割

大学数学で用いる行列をまとめてみました。ここでは行列のざっくりとした説明にします。

行列の種類

正方行列

ある行列Aの行と列の数が等しい行列

※特に行数と列数がmである行列をm次正方行列という

単位行列

主対角成分の値が全て１であり、主対角成分以外は全て０

記述法

EやIで表す

性質

単位行列をかけても計算結果は変わらない　EA＝A

逆行列

整数でいう逆数みたいな意味を持つ行列で、行列Aに行列Aの逆行列をかけると計算結果が単位行列になる行列になる行列

記述法

行列Aの逆行列はA^-1のように表す

性質

逆行列をかけることによって単位行列にすることができるA^-1A=E

作成方法

①ガウスジョルダン法

②余因子行列を用いる方法

正則行列

逆行列が存在する正方行列

判別方法

行列Aの行列式の値が０でないならばその行列は正則行列

回転行列

原点を中心に回転変換の表現行列

転置行列

ある行列Aに対して(i,j)成分を(j,i)成分に移して作られた行列。

表記法

行列Aの転置行列はA^Tまたは、、^TAと表す。

※m × n行列は転置するとn × m行列になる

性質

(A+B)^T =A^T+B^T

(AB)^T =B^TA^T

(A^T)^-1 =(A^-1)^T

対角行列

正方行列のうち主対角成分以外の成分が0である行列

テプリッツ行列

主対角成分の値が全て等しい行列

ハンケル行列

半対角成分の値が全て等しい行列

※トレース：主対角成分の和をとったもの

対称行列（実対称行列＝実エルミート行列）

ある正方行列Aがあって行列Aを転置しても、元の行列Aと変わらない行列のこと

※対称行列ならば直行行列Aと使う方法で１００％対角化できる

交代行列（実歪エルミート行列）

ある正方行列Aがあって行列Aを転置すると、元の行列Aと符合だけが変わる行列

三角行列

上（下）三角行列は対角成分とその右上（左下）のみ0以外の値がある正方行列

随伴行列

行列Aを転置し、その成分を複素共役にした行列。

記述法

A^*であらわす

性質

( A B )^*= B^*A^*

(A^*)^*=A

(A^*)^-1=(A^-1)^*

(CA)^* =C^cA^*

^cは行列の成分の複素共役を表す

正規行列

行列AにおいてA^*A =AA^*を満たす行列A

ユニタリ行列(実ユニタリ行列＝直行行列)

行列AにおいてA^*A＝Eを満たす行列A。A^*＝A^-1

直行行列（＝実ユニタリ行列）

行列AにおいてA^TA＝E→A^T＝A^-1を満たす行列A。

エルミート行列（実エルミート行列＝実対称行列）

行列AにおいてA^*＝Aを満たす行列A。